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逐点比较法圆弧插补

逐点比较法的圆弧插补和直线插补一样，都分为偏差判别、坐标进给、偏差计算和终点判别四个步骤。逐点比较法圆弧插补中，一般以坐标原点为圆心，给出圆弧起点坐标和终点坐标，以及圆弧的加工方向和所在的象限。为了降低复杂度，我们讲解位于第一象限的逆时针圆弧插补。

1. 偏差判别

设坐标轴中有一段逆时针方向的圆弧AB，圆心为坐标原点，起点坐标A(  ,  )，终点坐标B(  ,  )，圆弧上有一加工动点P，坐标P(  ,  )，如下图所示。

设A点到圆心的距离为R，动点P到圆心的距离为RP，根据上图给出的信息，使用圆的标准方程可得圆弧AB所在圆的方程和动点P所在圆的方程：

设动点P所在圆的半径与圆弧AB所在圆的半径之间的差值为插补的偏差值，记为Fi，则有式子：

从上面的式子中可以分析出，  的正负能够反映动点P与圆弧AB的位置偏差情况。

• 当  = 0时，RP=R，则动点P在圆弧AB上；

• 当  > 0时，RP>R，则动点P在圆弧AB的外侧；

• 当  < 0时，RP<R，则动点P在圆弧AB的内侧。

2. 坐标进给

逐点比较法的坐标进给有两个原则：一是减小加工动点相对于理论轨迹的位置偏差，二是进给方向总是平行于某个坐标轴。根据这个原则以及上个步骤偏差判别的信息，可以得出第一象限逆时针圆弧插补的坐标进给方法：

•   = 0，动点P在圆弧AB上，可向圆内进给一步，也可向圆外方向进给一步，通常规定向圆内即-X方向进给；

•   > 0，动点P在圆弧AB的外侧，应该向圆内即-X方向进给一步；

•   < 0，动点P在圆弧AB的内侧，应该向圆外即+Y方向进给一步；

• 当动点P在X轴上时，为减小误差，通常直接向+Y方向进给一步。

整个坐标进给的轨迹效果可以用一张图演示出来，如下图所示。

当然，图中只作为第一象限逆时针圆弧插补中刀具运动轨迹的演示，实际应用中的运动轨迹并不会像图里这么夸张，进给一步的长度是一个脉冲当量，以保证加工精度。

3. 偏差计算

在坐标进给之后得到新的动点坐标值，此时需要计算新的动点和理论轨迹之间的偏差值。从前面的讨论中我们知道了偏差值Fi的计算公式，可以通过公式直接求出  。公式中有4次乘方运算，也可以说是4次乘法运算，现在的各种控制器基本可以轻松的做乘法运算，为了追求更高的运行效率，我们把当前的偏差计算公式做一点小小的优化，将其变为递推公式。

假设当  时，加工动点P向圆内进给一步，生成一个新的动点  ，坐标是  ，则新动点的偏差值  计算公式为：

又因为动点  的坐标可由P点表示:

将由P点表示的  坐标代入  式中，可得:

上面Zui后得出的这个公式便是逐点比较法的第一象限逆时针圆弧插补偏差计算的递推公式，从式中可以看出，偏差  的值只跟上一步进给的偏差  和上一步的动点坐标值  有关，且将四次乘方运算转为一次乘2运算，比原始公式更简单快速。

同理可得，当  时，加工动点向+Y方向进给一步后的新偏差值递推公式:

需要指出的是，以上两个圆弧插补偏差计算公式中包含了上一个加工动点的坐标  和  ，由于加工动点是变化的，在计算偏差  的还要计算出新的动点坐标  和  ，为新的偏差值计算做准备，这是直线插补所不需要的。

4. 终点判别

常用的终点判别方法有三种，终点坐标法、投影法和总步长法。

• 终点坐标法。在启动插补之前，先定义X、Y两个方向的步长计数器，分别记录终点坐标在X、Y两个方向上的值。开始插补后当X、Y方向每进给一步，就在相应的计数器中减1，直到两个计数器的值都减为0时，刀具抵达终点，停止插补。

• 投影法。在插补前，先比较出终点坐标的X、Y值中较大的一个，以较大的数值作为计数器的值，当对应的轴有进给时，计数器减1，直到计数器为0。相当于终点坐标向值较大的轴做投影，叫投影法。

• 总步长法，即插补前，将终点坐标的X、Y值求和，得到一个总步长计数器，开始插补后，无论哪个轴进给一步，总步长计数器都减1，直到计数器等于0，停止插补。